【期望和方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的“平均值”，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望和方差公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、期望（Expected Value）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为各取值的概率。它表示在大量重复实验中，随机变量的平均结果。
1. 离散型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
二、方差（Variance）
方差用于衡量随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的波动性。方差越大，说明数据越分散；方差越小，说明数据越集中。
1. 方差的定义
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx
$$
三、常见分布的期望和方差
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、期望和方差的性质
- 线性性：对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
- 方差的线性变换：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
$$
- 独立变量的期望和方差：
若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则：
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y), \quad \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$
总结
期望和方差是统计分析中的核心概念，它们帮助我们理解和预测随机现象的长期行为。掌握这些公式不仅有助于理论学习，也对实际问题建模和数据分析具有重要意义。通过表格的形式，可以更清晰地比较不同分布的特性，便于记忆和应用。
