【期望和方差的计算公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这两个概念的计算方法，有助于我们更好地理解和分析数据。
一、期望的计算公式
定义：
期望（Expected Value）是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为各取值出现的概率。
离散型随机变量的期望公式：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中，$x_i$ 是第 $i$ 个可能的取值，$P(x_i)$ 是对应的概率。
连续型随机变量的期望公式：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$f(x)$ 是概率密度函数。
二、方差的计算公式
定义：
方差（Variance）表示随机变量与其期望之间的差异程度，即数据点与均值的平方距离的期望。
离散型随机变量的方差公式：
$$
Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)
$$
也可以简化为：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
连续型随机变量的方差公式：
$$
Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
三、总结表格
| 概念 | 定义说明 | 公式（离散型） | 公式（连续型） |
| 期望 | 随机变量的平均值 | $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)$ | $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx$ |
| 方差 | 随机变量与期望的偏离程度 | $Var(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)$ | $Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) dx$ |
四、实际应用举例
假设有一个离散型随机变量 $X$，其可能取值为 1、2、3，对应的概率分别为 0.2、0.5、0.3：
- 期望计算：
$$
E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
$$
- 方差计算：
$$
Var(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3
$$
$$
= 1.21 \times 0.2 + 0.01 \times 0.5 + 0.81 \times 0.3 = 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.49
$$
通过上述内容可以看出，期望和方差是理解随机变量行为的基础工具，广泛应用于金融、工程、数据分析等领域。掌握它们的计算方法，有助于提升对数据背后规律的认识。
