在概率论与数理统计中，超几何分布是一种重要的离散概率分布，它描述了从有限总体中不放回抽样时的成功次数的概率分布。这种分布广泛应用于质量控制、生物统计学以及社会科学等领域。
超几何分布的定义通常涉及一个总体，该总体由 \(N\) 个个体组成，其中 \(K\) 个属于成功类别，其余 \(N-K\) 属于失败类别。若从总体中随机抽取 \(n\) 个样本（不放回），则成功次数 \(X\) 的概率质量函数为：
\[
P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n-(N-K)), \ldots, \min(n, K)
\]
关于超几何分布的核心性质，其数学期望和方差是两个关键指标。具体而言：
- 期望：超几何分布的期望值可以通过以下公式计算：
\[
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
\]
此公式表明，期望值与抽样数量 \(n\)、成功个体总数 \(K\) 以及总体大小 \(N\) 直接相关。
- 方差：超几何分布的方差则更为复杂一些，但同样具有明确的表达式：
\[
Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}
\]
这个公式揭示了方差不仅依赖于 \(n\)、\(K\) 和 \(N\)，还受到样本量与总体大小比例的影响。
理解这些公式对于分析实际问题至关重要。例如，在产品质量检测中，若已知产品总数、次品数量及抽检数量，则可以通过上述公式快速评估检测结果的期望和波动情况。
总之，掌握超几何分布的期望和方差公式，不仅能帮助我们更好地理解和应用这一分布，还能为更复杂的统计建模提供坚实的基础。
---
希望这段内容能够满足您的需求！
