在数学中，混合积是一种重要的运算形式，通常用于向量代数和几何学领域。混合积的定义是三个向量的标量三重积，其结果是一个标量值。本文将通过一个具体的例题来展示如何计算混合积。
假设我们有三个向量：
\[ \mathbf{a} = (1, 2, 3), \]
\[ \mathbf{b} = (4, 5, 6), \]
\[ \mathbf{c} = (7, 8, 9). \]
混合积的公式为：
\[ \text{混合积} = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}, \]
其中 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) 表示向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的叉积，而 \( \cdot \) 表示点积。
第一步：计算向量 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)
根据叉积的定义，向量 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) 可以通过行列式计算：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix},
\]
其中 \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) 分别是单位向量。
展开行列式：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}
- \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}
+ \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}.
\]
计算每个小行列式的值：
\[
\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (2 \cdot 6) - (3 \cdot 5) = 12 - 15 = -3,
\]
\[
\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (1 \cdot 6) - (3 \cdot 4) = 6 - 12 = -6,
\]
\[
\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) - (2 \cdot 4) = 5 - 8 = -3.
\]
因此：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}.
\]
第二步：计算点积 \( (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} \)
将 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3) \) 和 \( \mathbf{c} = (7, 8, 9) \) 代入点积公式：
\[
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (-3)(7) + (6)(8) + (-3)(9).
\]
计算每一项：
\[
(-3)(7) = -21, \quad (6)(8) = 48, \quad (-3)(9) = -27.
\]
相加得到：
\[
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = -21 + 48 - 27 = 0.
\]
结论
通过上述计算，我们可以得出这三个向量的混合积为 0。这表明这三个向量共面（即它们所在的平面平行）。
希望这个例题能够帮助大家更好地理解混合积的计算方法！
