在数学学习过程中，三角函数是一个非常重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握好三角函数的相关公式，不仅能提高解题效率，还能帮助我们更好地理解数学中的各种规律和变化。本文将为大家整理一份三角函数公式大全表格，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 定义式 | 图像 | 周期 |
|----------|--------|------|------|
| 正弦函数（sin） | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 波形图 | $ 2\pi $ |
| 余弦函数（cos） | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 波形图 | $ 2\pi $ |
| 正切函数（tan） | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 斜线图 | $ \pi $ |
| 余切函数（cot） | $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 斜线图 | $ \pi $ |
| 正割函数（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 曲线图 | $ 2\pi $ |
| 余割函数（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 曲线图 | $ 2\pi $ |
二、常用角度的三角函数值表
| 角度（度） | 弧度 | sinθ | cosθ | tanθ | cotθ | secθ | cscθ |
|------------|------|------|------|------|------|------|------|
| 0° | 0| 0| 1| 0| ∞| 1| ∞|
| 30°| π/6| 1/2| √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2|
| 45°| π/4| √2/2 | √2/2 | 1| 1| √2 | √2 |
| 60°| π/3| √3/2 | 1/2| √3 | 1/√3 | 2| 2/√3 |
| 90°| π/2| 1| 0| ∞| 0| ∞| 1|
三、三角恒等式
1. 基本恒等式
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
2. 和差角公式
- $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $
- $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $
- $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $
3. 二倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $
- $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $
4. 三倍角公式
- $ \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $
- $ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $
- $ \tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} $
5. 半角公式
- $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $
- $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $
- $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $
四、反三角函数简要介绍
| 函数名称 | 定义域 | 值域 | 说明 |
|----------|--------|------|------|
| arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] | 反正弦函数 |
| arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] | 反余弦函数 |
| arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) | 反正切函数 |
五、三角函数图像特征
- 正弦函数：周期性波动，从0开始，最高点为1，最低点为-1。
- 余弦函数：与正弦函数类似，但起始点为1。
- 正切函数：在每个周期内有垂直渐近线，图像呈上升趋势。
- 余切函数：与正切函数相反，呈下降趋势。
- 正割函数：在余弦函数的倒数上，图像有间断点。
- 余割函数：在正弦函数的倒数上，图像也有间断点。
六、应用实例
在实际问题中，如测量高度、计算力的分解、波的传播等，都可以通过三角函数进行建模与求解。例如：
- 在建筑中，利用三角函数可以计算建筑物的高度或斜面长度；
- 在物理学中，用于分析振动、波动、旋转运动等；
- 在信号处理中，三角函数是傅里叶变换的基础。
结语
掌握三角函数的公式与性质，是学习数学和应用科学的重要基础。通过不断练习和应用，能够更灵活地运用这些知识解决实际问题。希望这份三角函数公式大全表格能成为你学习道路上的好帮手！
