在数学学习中，三角函数是一个非常重要的部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对三角函数性质的理解。本文将系统地整理和介绍一些常用的三角函数公式，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有以下六种基本三角函数定义：
- 正弦（sin）：sinθ = a / c
- 余弦（cos）：cosθ = b / c
- 正切（tan）：tanθ = a / b
- 余切（cot）：cotθ = b / a
- 正割（sec）：secθ = c / b
- 余割（csc）：cscθ = c / a
二、三角函数的基本关系式
1. 倒数关系：
- sinθ = 1 / cscθ
- cosθ = 1 / secθ
- tanθ = 1 / cotθ
- cotθ = 1 / tanθ
- secθ = 1 / cosθ
- cscθ = 1 / sinθ
2. 商数关系：
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
3. 平方关系：
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角度的三角函数转化为锐角的三角函数，适用于不同象限的角度转换：
- sin(π - θ) = sinθ
- cos(π - θ) = -cosθ
- tan(π - θ) = -tanθ
- sin(π + θ) = -sinθ
- cos(π + θ) = -cosθ
- tan(π + θ) = tanθ
- sin(2π - θ) = -sinθ
- cos(2π - θ) = cosθ
- tan(2π - θ) = -tanθ
四、和差角公式
这些公式可以用于计算两个角的和或差的正弦、余弦、正切值：
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
五、倍角公式
倍角公式用于将一个角的三角函数表示为该角两倍或三倍的形式：
- sin2θ = 2sinθ cosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
六、半角公式
半角公式用于将一个角的一半的三角函数用原角的三角函数表示：
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ)
七、积化和差与和差化积公式
这些公式在处理复杂的三角函数乘积或和差时非常有用：
积化和差：
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
和差化积：
- sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
八、反三角函数简介
反三角函数是三角函数的逆函数，常用于求解角度的大小。常见反三角函数包括：
- arcsin x（反正弦函数）
- arccos x（反余弦函数）
- arctan x（反正切函数）
它们的定义域和值域如下：
| 函数 | 定义域 | 值域 |
|------------|------------|------------------|
| arcsin x | [-1, 1]| [-π/2, π/2]|
| arccos x | [-1, 1]| [0, π] |
| arctan x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2)|
结语
三角函数作为数学中的基础内容，其公式繁多但逻辑清晰。掌握这些公式不仅能提高解题能力，还能增强对数学思维的训练。建议在学习过程中结合图形理解，并通过大量练习加以巩固。希望本文能为你的学习提供帮助！
