在数学学习中，三角函数是一个非常重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了帮助大家更好地掌握和应用这些公式，本文将系统地整理和介绍常见的三角函数公式，便于查阅与复习。
一、基本定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则有以下基本定义：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
- cotα = x/y（y ≠ 0）
- secα = 1/x（x ≠ 0）
- cscα = 1/y（y ≠ 0）
二、常用三角恒等式
1. 倒数关系：
- sinα · cscα = 1
- cosα · secα = 1
- tanα · cotα = 1
2. 商数关系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 平方关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
三、诱导公式
用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数表达式，常见形式如下：
| 角度 | 公式 |
|------|------|
| -α | sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；tan(-α) = -tanα |
| π - α | sin(π - α) = sinα；cos(π - α) = -cosα；tan(π - α) = -tanα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα；cos(π + α) = -cosα；tan(π + α) = tanα |
| 2π - α | sin(2π - α) = -sinα；cos(2π - α) = cosα；tan(2π - α) = -tanα |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数：
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
六、半角公式
用于求某个角的一半的三角函数：
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = sinα / (1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα
七、积化和差公式
将乘积形式的三角函数转换为和差形式：
- sinαcosβ = [sin(α+β) + sin(α−β)] / 2
- cosαcosβ = [cos(α+β) + cos(α−β)] / 2
- sinαsinβ = [cos(α−β) − cos(α+β)] / 2
八、和差化积公式
将和差形式的三角函数转换为乘积形式：
- sinα + sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]
- sinα − sinβ = 2cos[(α+β)/2]sin[(α−β)/2]
- cosα + cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α−β)/2]
- cosα − cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α−β)/2]
九、正弦定理与余弦定理
适用于任意三角形：
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC
- 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC
十、三角函数图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
|------|--------|------|------|--------|
| sinx | R| [-1,1] | 2π | 奇函数 |
| cosx | R| [-1,1] | 2π | 偶函数 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函数 |
| cotx | x ≠ kπ | R | π | 奇函数 |
总结
三角函数是数学中的基础工具之一，掌握其基本公式和性质对于解决实际问题具有重要意义。通过不断练习和应用，可以更加熟练地运用这些公式进行计算和推导。希望本文能够帮助大家系统地理解和记忆三角函数的相关知识，提升数学学习的效率与质量。
