空间点到平面的距离公式

【空间点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题，广泛应用于工程、物理和计算机图形学等领域。本文将对“空间点到平面的距离公式”进行总结，并通过表格形式清晰展示其内容。

一、公式概述

空间中一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面的法向量；

- $ D $ 是平面方程中的常数项；

- 分子部分表示点代入平面方程后的绝对值；

- 分母是法向量的模长，用于归一化。

二、关键要素说明

元素	含义	说明
点 $ P(x_0, y_0, z_0) $	空间中的一个点	坐标已知，要求到平面的距离
平面方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $	平面的一般式	$ A, B, C $ 是法向量，$ D $ 是常数项
法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $	平面的法向量	与平面垂直的方向向量
距离 $ d $	点到平面的最短距离	即点沿法向量方向到平面的垂直距离

三、使用步骤

1. 确定点坐标：已知点 $ P(x_0, y_0, z_0) $；

2. 写出平面方程：已知平面的一般式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $；

3. 代入公式：将点坐标代入分子部分，法向量模长代入分母；

4. 计算结果：得到点到平面的距离。

四、示例

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 7 = 0 $，则：

- $ A = 2 $, $ B = -3 $, $ C = 6 $, $ D = -7 $

- 代入公式得：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 7}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 7}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{7}{\sqrt{49}} = \frac{7}{7} = 1

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 1。

五、注意事项

- 若平面方程未写成一般式（如 $ Ax + By + Cz = D $），需先整理为标准形式；

- 若法向量模长为 0，则说明该平面不存在或方程有误；

- 公式适用于所有空间点和平面，不依赖于坐标系的选择。

通过以上总结，我们可以清晰地理解“空间点到平面的距离公式”的原理及应用方式，便于在实际问题中快速求解。