【函数怎么求导】在数学中，导数是微积分的重要组成部分，用于描述函数在某一点的变化率或斜率。掌握如何求导，是学习微积分的基础。本文将总结常见的函数求导方法，并以表格形式展示常见函数的导数公式，帮助读者快速理解和应用。
一、导数的基本概念
导数的定义为：
设函数 $ y = f(x) $，在 $ x $ 处的导数为：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
如果该极限存在，则称函数在该点可导。
导数的几何意义是函数图像在某一点的切线斜率；物理意义则是变化率，如速度是位移对时间的导数。
二、基本求导法则
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C为常数），则 $ f'(x) = 0 $
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $，则 $ f'(x) = nx^{n-1} $
3. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x) \pm v'(x) $
4. 乘积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则 $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $
5. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
6. 链式法则
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
三、常见函数导数表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
四、小结
求导是数学分析中的基础技能，掌握导数的定义与基本法则，有助于理解函数的变化趋势与几何性质。通过记忆常见函数的导数公式，并结合乘法、除法、链式等法则，可以解决大多数函数的求导问题。建议多做练习题，提升对导数的应用能力。
提示：实际应用中，可能会遇到复杂函数，这时需要灵活运用多种法则组合求解，例如复合函数、隐函数、参数方程等，这些都需要进一步深入学习。
