【数学求导公式大全】在数学学习中，求导是微积分中的一个重要内容，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握常见的求导公式不仅有助于解题效率的提升，还能加深对函数变化规律的理解。以下是一些常见函数的求导公式总结，便于查阅与记忆。
一、基本求导公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $（x>0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（x>0） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、复合函数求导法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数遵循链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- $ f(x) = \sin(3x) $ 的导数为：$ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- $ f(x) = e^{x^2} $ 的导数为：$ e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} $
三、乘积与商的求导法则
1. 乘积法则：
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
2. 商法则：
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
四、高阶导数
高阶导数指的是对一个函数进行多次求导的结果，如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) $
- 三阶导数：$ f'''(x) $
例如：
- $ f(x) = x^3 $ 的一阶导数为 $ 3x^2 $，二阶导数为 $ 6x $，三阶导数为 $ 6 $
五、隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义的隐函数 $ y = y(x) $，可以通过两边对 $ x $ 求导并解出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
设 $ x^2 + y^2 = 1 $，两边对 $ x $ 求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
六、参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \text{当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
七、反函数求导
若 $ y = f(x) $ 是可逆的，则其反函数 $ x = f^{-1}(y) $ 的导数为：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
$$
总结
掌握这些基本的求导公式和法则，是解决复杂数学问题的基础。通过不断练习与应用，可以提高对导数的理解与运用能力。建议在学习过程中结合图形分析、实际问题建模等方式，加深对导数概念的感知与理解。
