【分部积分的公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解无法直接通过基本积分规则求得的不定积分。该方法基于乘积法则的逆运算，适用于被积函数为两个函数相乘的情况。
一、分部积分的基本公式
分部积分法的公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数（即 $ v = \int dv $）。
这个公式的核心思想是将一个复杂的积分转化为一个较简单的积分。
二、使用分部积分的典型情况
| 情况 | 被积函数形式 | 建议选择 $ u $ 和 $ dv $ |
| 1 | 多项式 × 指数函数 | 多项式作为 $ u $，指数函数作为 $ dv $ |
| 2 | 多项式 × 对数函数 | 对数函数作为 $ u $，多项式作为 $ dv $ |
| 3 | 三角函数 × 指数函数 | 可以选择任意一个作为 $ u $，反复应用分部积分 |
| 4 | 三角函数 × 三角函数 | 可能需要结合代数变换或使用对称性简化 |
三、分部积分的步骤总结
1. 识别被积函数：判断是否可以表示为两个函数的乘积。
2. 选择 $ u $ 和 $ dv $：根据“LIATE”原则（Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential）进行选择。
3. 计算 $ du $ 和 $ v $：分别对 $ u $ 求导和对 $ dv $ 积分。
4. 代入公式：将结果代入分部积分公式中。
5. 简化并求解：对得到的新积分进行处理，可能需要再次使用分部积分。
四、示例解析
例题：计算 $ \int x e^x \, dx $
解法：
- 设 $ u = x $，则 $ du = dx $
- 设 $ dv = e^x dx $，则 $ v = e^x $
代入公式：
$$
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C
$$
五、注意事项
- 分部积分并非万能，有时可能需要多次应用。
- 如果选择不当，可能导致更复杂的积分。
- 在某些情况下，可能需要结合其他积分技巧（如换元法）一起使用。
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 使用场景 | 两个函数的乘积积分 |
| 选择原则 | LIATE 原则（Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential） |
| 步骤 | 选择 $ u $ 和 $ dv $ → 求导与积分 → 代入公式 → 简化结果 |
| 注意事项 | 选择不当可能导致复杂化；可能需多次使用 |
通过掌握分部积分法，可以更灵活地应对多种类型的积分问题，是学习微积分过程中不可或缺的重要工具之一。
