【求函数单调性的一般步骤】在数学中，函数的单调性是研究函数性质的重要内容之一。了解一个函数在其定义域内的增减趋势，有助于我们更深入地理解函数的变化规律，也为后续的极值、最值等问题打下基础。以下是求函数单调性的一般步骤总结。
一、求函数单调性的基本步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定定义域 | 首先明确函数的定义域，这是判断单调性的前提条件。函数在某些点可能不连续或不可导，需特别注意。 |
| 2. 求导数 | 对函数 $ f(x) $ 求导，得到导函数 $ f'(x) $。导数的正负决定了函数的增减趋势。 |
| 3. 解不等式 | 根据导数的符号，解不等式 $ f'(x) > 0 $ 和 $ f'(x) < 0 $，找出函数的单调递增和递减区间。 |
| 4. 分析临界点 | 找出导数为零或不存在的点（即临界点），这些点可能是单调区间的分界点。 |
| 5. 列表或画图分析 | 将各区间与导数符号对应起来，列出表格或画出图像，直观判断函数的单调性。 |
| 6. 综合结论 | 最后根据分析结果，写出函数在各个区间上的单调性。 |
二、示例说明
以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例：
1. 定义域：全体实数 $ \mathbb{R} $
2. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 解不等式：
- $ f'(x) > 0 $ 即 $ 3x^2 - 3 > 0 $，解得 $ x < -1 $ 或 $ x > 1 $
- $ f'(x) < 0 $ 即 $ 3x^2 - 3 < 0 $，解得 $ -1 < x < 1 $
4. 临界点：$ x = -1 $ 和 $ x = 1 $
5. 列表分析：
| 区间 | 导数符号 | 函数单调性 |
| $ (-\infty, -1) $ | $ + $ | 单调递增 |
| $ (-1, 1) $ | $ - $ | 单调递减 |
| $ (1, +\infty) $ | $ + $ | 单调递增 |
6. 结论：函数在区间 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上单调递增，在区间 $ (-1, 1) $ 上单调递减。
三、注意事项
- 若函数在某一点不可导，需单独分析该点附近的单调性。
- 在多个区间内，函数可能具有不同的单调性，应分别说明。
- 单调性是局部性质，不能简单推广到整个定义域。
通过以上步骤，我们可以系统地分析函数的单调性，为后续的数学问题提供清晰的思路和依据。掌握这一方法，有助于提高对函数变化规律的理解和应用能力。
