在数学中，平面向量是一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中有广泛应用，在实际问题解决中也扮演着关键角色。为了更好地理解和应用平面向量的相关知识，下面总结了与平面向量相关的所有重要公式。
一、基本定义与性质
1. 向量的表示
平面向量可以用坐标形式表示为 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，其中 $x_1, y_1$ 和 $x_2, y_2$ 分别是向量的横纵分量。
2. 零向量
零向量 $\vec{0}$ 的坐标为 $(0, 0)$，且其长度为 0。
3. 单位向量
向量 $\vec{a}$ 的单位向量为 $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$，其中 $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ 是向量的模。
4. 向量相等
若两个向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$ 满足 $x_1 = x_2$ 且 $y_1 = y_2$，则称 $\vec{a} = \vec{b}$。
5. 共线向量
若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线，则存在实数 $k$ 使得 $\vec{a} = k\vec{b}$ 或 $\vec{b} = k\vec{a}$。
二、向量的基本运算
1. 向量加法
$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
2. 向量减法
$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
3. 数乘运算
$k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$，其中 $k$ 为实数。
4. 点积（数量积）
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。
点积的几何意义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。
5. 向量积（叉积）
在二维平面中，向量积的大小为：
$$
|\vec{a} \times \vec{b}| = |x_1y_2 - x_2y_1|
$$
方向由右手定则确定。
6. 向量的模
$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$。
7. 方向余弦
设 $\vec{a}$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$，与 $y$ 轴正方向的夹角为 $\beta$，则有：
$$
\cos\alpha = \frac{x_1}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{y_1}{|\vec{a}|}
$$
三、向量的应用公式
1. 投影公式
向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为：
$$
\text{Proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}
$$
2. 夹角公式
若已知 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $|\vec{a}|, |\vec{b}|$，则两向量的夹角 $\theta$ 可通过以下公式求得：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
3. 平行四边形法则
若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是平行四边形的两条邻边，则其对角线向量为：
$$
\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}, \quad \vec{d} = \vec{a} - \vec{b}
$$
4. 三角形法则
若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 表示三角形的两边，则第三边为：
$$
\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}
$$
四、向量的几何意义
1. 垂直条件
若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
2. 平行条件
若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则 $\vec{a} = k\vec{b}$（$k \neq 0$）。
3. 面积公式
平行四边形的面积为：
$$
S = |\vec{a} \times \vec{b}|
$$
4. 距离公式
两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 之间的距离为：
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
以上便是平面向量的主要公式汇总。这些公式涵盖了向量的基本定义、运算规则及其在几何中的应用，是解决相关问题的重要工具。希望读者能熟练掌握并灵活运用这些公式！
