【等比数列的前n项和公式是什么】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。了解等比数列的前n项和公式，有助于我们在实际问题中快速计算数列的总和。
等比数列的前n项和公式根据公比的不同分为两种情况：当公比不等于1时，使用一个公式；当公比等于1时，则使用另一个简单的计算方式。以下是详细的总结：
一、等比数列的基本概念
- 首项（a）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_2}{a_1} $。
- 第n项（a_n）：$ a_n = a \cdot r^{n-1} $。
- 前n项和（S_n）：从第一项到第n项的总和。
二、等比数列前n项和公式
| 公比（r） | 公式 | 说明 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 当公比不为1时，使用此公式计算前n项和 |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a \cdot n $ | 当公比为1时，所有项都相等，直接乘以项数即可 |
三、举例说明
示例1：公比 $ r \neq 1 $
设等比数列为：2, 6, 18, 54, 162
其中，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项和。
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
示例2：公比 $ r = 1 $
设等比数列为：5, 5, 5, 5, 5
其中，首项 $ a = 5 $，公比 $ r = 1 $，求前5项和。
$$
S_5 = 5 \cdot 5 = 25
$$
四、注意事项
- 如果题目中没有明确给出公比，需先判断是否为等比数列。
- 当公比为负数或分数时，公式依然适用，但结果可能为负数或小数。
- 在实际应用中，如银行利息、人口增长等问题，常会用到等比数列的求和公式。
通过掌握等比数列的前n项和公式，我们可以在数学学习和实际问题中更加高效地进行计算和分析。
