【什么是双阶乘】双阶乘是一种数学运算，与普通阶乘类似，但其计算方式有所不同。在普通的阶乘中，n! 表示从 1 到 n 的所有正整数的乘积，而双阶乘则是将 n 与 n-2、n-4 等依次相乘，直到乘到 1 或 2 为止。
双阶乘通常用符号 n!! 表示，根据 n 的奇偶性，其定义也有所不同。下面我们将对双阶乘进行总结，并通过表格形式清晰展示其计算规则和示例。
一、双阶乘的定义
1. 当 n 为偶数时：
$$
n!! = n \times (n - 2) \times (n - 4) \times \cdots \times 2
$$
2. 当 n 为奇数时：
$$
n!! = n \times (n - 2) \times (n - 4) \times \cdots \times 1
$$
3. 特殊情况：
- $0!! = 1$
- $1!! = 1$
二、双阶乘与普通阶乘的区别
| 项目 | 普通阶乘（n!） | 双阶乘（n!!） |
| 定义 | n × (n-1) × ... × 1 | n × (n-2) × ... × 1 或 2 |
| 步长 | 每次减 1 | 每次减 2 |
| 示例 | 5! = 5×4×3×2×1 = 120 | 5!! = 5×3×1 = 15 |
| 范围 | 所有正整数 | 仅适用于正整数 |
三、双阶乘的计算示例
| n | 计算过程 | 结果 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 × 1 | 3 |
| 4 | 4 × 2 | 8 |
| 5 | 5 × 3 × 1 | 15 |
| 6 | 6 × 4 × 2 | 48 |
| 7 | 7 × 5 × 3 × 1 | 105 |
| 8 | 8 × 6 × 4 × 2 | 384 |
| 9 | 9 × 7 × 5 × 3 × 1 | 945 |
| 10 | 10 × 8 × 6 × 4 × 2 | 3840 |
四、双阶乘的应用
双阶乘在组合数学、概率论以及某些物理问题中也有应用。例如，在计算排列组合时，有时会遇到只考虑奇数或偶数位置的情况，此时双阶乘可以简化计算过程。
此外，双阶乘还与伽马函数（Gamma function）有关，是阶乘的一种扩展形式。
五、总结
双阶乘是一种特殊的阶乘运算，其特点是每次递减 2，而不是 1。它适用于奇数和偶数，结果取决于初始值的奇偶性。通过表格我们可以更直观地理解其计算方式和实际应用。对于数学爱好者来说，了解双阶乘有助于拓展对阶乘概念的认识，并在特定场景下提供更高效的计算方法。
