在概率论和统计学中，指数分布是一种常见的连续概率分布，通常用于描述事件发生的时间间隔。例如，它常被用来建模设备故障的时间或顾客到达服务台的间隔时间。本文将详细探讨指数分布的期望值和方差是如何通过数学推导得出的。
指数分布的基本定义
假设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda > 0 \) 的指数分布，则其概率密度函数（PDF）为：
\[
f(x; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
其中，\( \lambda \) 是速率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布的期望值
期望值 \( E[X] \) 的定义是随机变量 \( X \) 所有可能取值与其相应概率乘积的总和（对于离散情况）或积分（对于连续情况）。对于指数分布，期望值可以通过以下公式计算：
\[
E[X] = \int_{0}^{\infty} x f(x; \lambda) dx.
\]
代入 \( f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \)，我们得到：
\[
E[X] = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx.
\]
为了简化这个积分，我们可以使用分部积分法。令 \( u = x \) 和 \( dv = \lambda e^{-\lambda x} dx \)，则有 \( du = dx \) 和 \( v = -e^{-\lambda x} \)。根据分部积分公式 \( \int u dv = uv - \int v du \)，我们有：
\[
E[X] = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx.
\]
第一项 \( \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty \) 在 \( x \to \infty \) 时趋于零，而在 \( x = 0 \) 时也为零。因此，该项为零。第二项可以计算为：
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda}.
\]
因此，指数分布的期望值为：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda}.
\]
指数分布的方差
方差 \( Var(X) \) 定义为 \( E[(X - E[X])^2] \)，即 \( E[X^2] - (E[X])^2 \)。我们首先需要计算 \( E[X^2] \)。
\[
E[X^2] = \int_{0}^{\infty} x^2 f(x; \lambda) dx = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx.
\]
同样使用分部积分法，令 \( u = x^2 \) 和 \( dv = \lambda e^{-\lambda x} dx \)，则有 \( du = 2x dx \) 和 \( v = -e^{-\lambda x} \)。根据分部积分公式，我们有：
\[
E[X^2] = \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_{0}^{\infty} 2x e^{-\lambda x} dx.
\]
第一项 \( \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty \) 在 \( x \to \infty \) 时趋于零，而在 \( x = 0 \) 时也为零。因此，该项为零。第二项可以计算为：
\[
\int_{0}^{\infty} 2x e^{-\lambda x} dx = 2 \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx = 2 \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}.
\]
因此，指数分布的二阶矩为：
\[
E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}.
\]
方差 \( Var(X) \) 可以通过 \( E[X^2] - (E[X])^2 \) 计算：
\[
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}.
\]
总结
通过上述推导，我们得到了指数分布的期望值和方差分别为：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}.
\]
这些结果表明，指数分布的期望值和方差都只依赖于速率参数 \( \lambda \)，并且它们之间的关系非常简单。这种特性使得指数分布在许多实际问题中具有广泛的应用价值。
