等比数列公式是什么

【等比数列公式是什么】等比数列是数学中一种重要的数列类型，广泛应用于数学、物理、金融等多个领域。了解等比数列的公式对于解决相关问题至关重要。本文将总结等比数列的基本概念和常用公式，并以表格形式清晰展示。

一、等比数列的定义

等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用字母 q 表示。

例如：

3, 6, 12, 24, 48,... 是一个等比数列，其中首项 a₁ = 3，公比 q = 2。

二、等比数列的基本公式

以下是等比数列中常用的几个公式：

公式名称	公式表达	说明
第n项公式	$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $	计算第n项的值
前n项和公式	$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $）	求前n项的和
当 $ q = 1 $ 时	$ S_n = a_1 \cdot n $	公比为1时，所有项相等
无穷等比数列和	$ S = \frac{a_1}{1 - q} $（当 $	q	< 1 $）	当公比绝对值小于1时，无限项之和收敛

三、使用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求：

1. 第5项是多少？

$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

2. 前4项的和是多少？

$ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80 $

四、注意事项

- 公比 $ q $ 可以为正数、负数或分数。

- 如果 $ q = 1 $，则数列为常数列，所有项都等于首项。

- 当 $ q < 1 $ 时，无穷等比数列的和才是有限的。

通过以上内容可以看出，等比数列的公式虽然简单，但应用非常广泛。掌握这些公式有助于快速计算和理解数列的变化规律。