【分布函数名词解释】在概率论与统计学中，“分布函数”是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的取值规律。它能够帮助我们了解一个随机变量在某个数值以下的概率是多少，从而对数据的分布特征进行分析和预测。
一、
分布函数（Distribution Function）通常也被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF），记作 $ F(x) $。对于一个随机变量 $ X $，其分布函数定义为：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
也就是说，分布函数给出了随机变量小于或等于某个特定值 $ x $ 的概率。它是研究随机变量性质的重要工具，尤其在连续型和离散型随机变量的分析中具有广泛应用。
分布函数具有以下几个基本性质：
1. 单调不减性：当 $ x_1 < x_2 $ 时，$ F(x_1) \leq F(x_2) $。
2. 右连续性：$ F(x) $ 在每个点上都是右连续的。
3. 极限性质：
- 当 $ x \to -\infty $ 时，$ F(x) \to 0 $；
- 当 $ x \to +\infty $ 时，$ F(x) \to 1 $。
根据随机变量的类型，分布函数可以分为离散型分布函数和连续型分布函数。前者通过概率质量函数（PMF）来定义，后者则通过概率密度函数（PDF）来表示。
二、表格对比
| 项目 | 离散型分布函数 | 连续型分布函数 |
| 定义 | 对于离散型随机变量 $ X $，$ F(x) = P(X \leq x) $ | 对于连续型随机变量 $ X $，$ F(x) = P(X \leq x) $ |
| 表达方式 | 由概率质量函数（PMF）决定 | 由概率密度函数（PDF）决定 |
| 图形特点 | 阶梯状，跳跃变化 | 连续曲线，无跳跃 |
| 概率计算 | $ P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_i^-) $ | $ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) $ |
| 示例 | 二项分布、泊松分布 | 正态分布、指数分布 |
三、总结
分布函数是描述随机变量概率特性的重要工具，无论是理论分析还是实际应用中都具有重要意义。通过理解分布函数的性质和形式，我们可以更深入地掌握随机变量的行为，并为后续的概率计算和统计推断打下坚实基础。
