在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分。无论是初学者还是高等数学的研究者，都需要掌握这些基本公式。本文将整理一份全面的三角函数公式表，包含正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余割（csc）、正割（sec）和余切（cot），并涵盖反三角函数（arc）、半角公式以及倍角公式等内容。
一、基本三角函数关系式
1. 正弦与余弦的关系：
\[
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
\]
2. 正切与余切的关系：
\[
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
\]
3. 正割与余割的关系：
\[
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
\]
二、反三角函数公式
1. 反正弦函数：
\[
\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}, \quad -1 \leq x \leq 1
\]
2. 反余切函数：
\[
\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}
\]
3. 反正切加法公式：
\[
\arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right), \quad ab < 1
\]
三、半角公式
1. 正弦半角公式：
\[
\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}
\]
2. 余弦半角公式：
\[
\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}
\]
3. 正切半角公式：
\[
\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}
\]
四、倍角公式
1. 正弦倍角公式：
\[
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
\]
2. 余弦倍角公式：
\[
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
\]
3. 正切倍角公式：
\[
\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
\]
五、其他重要公式
1. 积化和差公式：
\[
\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
\]
\[
\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]
\]
2. 和差化积公式：
\[
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
\[
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
以上便是完整的三角函数公式汇总，涵盖了正弦、余弦、正切及其倒数形式，以及反三角函数、半角公式和倍角公式等。希望这份清单能帮助大家更好地理解和运用三角函数知识，在学习过程中更加得心应手！
