【等比数列公式】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。等比数列在数列求和、几何问题以及金融计算等领域有广泛应用。
以下是对等比数列相关公式的总结，帮助读者快速掌握其核心内容。
一、等比数列的基本概念
| 术语 | 定义 |
| 首项 | 数列的第一个数，记作 $ a_1 $ 或 $ a $ |
| 公比 | 每一项与前一项的比值，记作 $ q $（$ q \neq 0 $） |
| 第n项 | 数列中的第n个元素，记作 $ a_n $ |
二、等比数列的通项公式
等比数列的第n项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $：第n项
- $ a_1 $：首项
- $ q $：公比
- $ n $：项数（正整数）
三、等比数列的求和公式
当公比 $ q \neq 1 $ 时，前n项和 $ S_n $ 的公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{或} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当公比 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，因此：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
四、等比数列的性质
| 性质 | 内容 | ||
| 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ | ||
| 连续项关系 | 若 $ a_m $ 和 $ a_n $ 是等比数列中的两项，则 $ a_m = a_n \cdot q^{m-n} $ | ||
| 无穷等比数列求和 | 当 $ | q | < 1 $ 时，无限项和为 $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
五、常见应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 复利计算 | 利息按固定比例增长，可用等比数列模型 |
| 人口增长 | 一定条件下，人口数量可能呈指数增长 |
| 折旧计算 | 固定折旧率下，资产价值逐年递减 |
六、表格总结
| 公式名称 | 公式表达 | 适用条件 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 任意等比数列 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | $ q \neq 1 $ | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ | $ | q | < 1 $ |
| 等比中项 | $ b^2 = ac $ | 三个连续项成等比数列 |
通过以上公式和应用，我们可以更系统地理解和运用等比数列，提升解决实际问题的能力。在学习过程中，建议结合具体例子进行练习，以加深对公式的理解与记忆。
