【高中数学公式:二项式定理展开式公式是什么】在高中数学中，二项式定理是一个非常重要的知识点，它广泛应用于代数、组合数学以及概率等领域。二项式定理主要用来展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式，其中 $n$ 是一个非负整数。
一、二项式定理的基本内容
二项式定理的公式如下：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个的组合方式数；
- $a$ 和 $b$ 是任意实数或变量；
- $n$ 是一个非负整数（即 $n \in \mathbb{N}_0$）。
二、二项式展开式的结构特点
1. 展开后共有 $n+1$ 项；
2. 每一项的形式为 $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$；
3. 系数遵循组合数规律，且对称分布；
4. 当 $k=0$ 时，该项为 $a^n$；当 $k=n$ 时，该项为 $b^n$。
三、常见例子展示
下面以几个具体的 $n$ 值为例，展示二项式展开的结果：
| n | 展开式 |
| 0 | $(a + b)^0 = 1$ |
| 1 | $(a + b)^1 = a + b$ |
| 2 | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| 3 | $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ |
| 4 | $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ |
四、组合数的计算方法
组合数 $\binom{n}{k}$ 的计算公式为：
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
其中，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$。
五、总结
二项式定理是高中数学中的基础工具之一，能够帮助我们快速展开复杂的二项式表达式。掌握其公式和展开规律，有助于理解多项式的结构，并在后续学习中打下坚实的基础。
通过上述表格和文字说明，可以清晰地了解二项式定理的展开方式及其应用。希望本文能帮助你更好地理解和记忆这一重要数学公式。
