在概率论与数理统计中，正态分布（Normal Distribution）是一种极为重要的连续型概率分布，其曲线呈现钟形，具有对称性和广泛的应用价值。正态分布的分布函数，即累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF），描述了随机变量小于或等于某个特定值的概率。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
其中，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差。而分布函数 \(F(x)\) 则是将概率密度函数积分得到的结果：
\[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \]
通过这个积分公式，我们可以计算出随机变量 \(X\) 小于或等于 \(x\) 的概率。
值得注意的是，正态分布的分布函数无法用初等函数表示，因此通常采用数值方法或者特殊函数来近似求解。常见的特殊函数是误差函数（Error Function, Erf），它与正态分布的分布函数密切相关：
\[ \text{Erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} e^{-t^2} \, dt \]
利用误差函数，可以将正态分布的分布函数表达为：
\[ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{Erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right] \]
在实际应用中，正态分布的分布函数被广泛应用于金融风险评估、质量控制、信号处理等领域。例如，在金融领域，可以通过分布函数计算资产价格低于某一阈值的概率；在工程学中，则用于分析产品质量是否满足设计要求。
总结来说，正态分布的分布函数是研究随机现象的重要工具，尽管其形式较为复杂，但借助现代计算技术，我们能够高效地解决相关问题。无论是理论研究还是实践应用，正态分布的分布函数都展现了其不可替代的重要性。
