【两个不独立的正态分布相加怎么计算】在概率论与统计学中，正态分布是最常见的连续概率分布之一。当两个正态分布变量相加时，如果它们是独立的，结果依然是一个正态分布，其均值为两者的均值之和，方差为两者方差之和。然而，当这两个变量不独立时，情况会变得复杂一些。
本文将对“两个不独立的正态分布相加”的计算方法进行总结，并通过表格形式清晰展示相关公式与条件。
一、基本概念回顾
- 正态分布：若随机变量 $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $，表示 $ X $ 服从均值为 $ \mu_1 $、方差为 $ \sigma_1^2 $ 的正态分布。
- 线性组合：若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则 $ Z = aX + bY $ 是它们的线性组合。
- 协方差：衡量两个变量之间的线性关系，记为 $ \text{Cov}(X, Y) $。
- 相关系数：标准化后的协方差，记为 $ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $。
二、两个不独立正态分布相加的计算方法
假设 $ X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2) $，$ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) $，且 $ X $ 与 $ Y $ 不独立，它们的协方差为 $ \text{Cov}(X, Y) = \sigma_{XY} $，则：
1. 线性组合 $ Z = X + Y $
- 均值：
$$
\mu_Z = \mu_1 + \mu_2
$$
- 方差：
$$
\sigma_Z^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\sigma_{XY}
$$
- 如果已知相关系数 $ \rho $，则：
$$
\sigma_{XY} = \rho \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2
$$
因此，方差也可以写成：
$$
\sigma_Z^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\rho \sigma_1 \sigma_2
$$
2. 结果分布
由于 $ X $ 和 $ Y $ 都是正态分布，且它们的线性组合也是正态分布（即使不独立），所以 $ Z = X + Y \sim N(\mu_Z, \sigma_Z^2) $。
三、关键公式总结
| 项目 | 公式 |
| 均值 | $ \mu_Z = \mu_1 + \mu_2 $ |
| 方差 | $ \sigma_Z^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 2\sigma_{XY} $ |
| 协方差表达式 | $ \sigma_{XY} = \rho \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 $ |
| 相关系数 | $ \rho = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_1 \sigma_2} $ |
四、注意事项
1. 不独立 ≠ 不相关：即使两个变量不独立，也不一定存在非零的协方差（即可能为零）。
2. 非正态分布的线性组合：如果原始变量不是正态分布，即使不独立，其和也可能不是正态分布。
3. 实际应用：在金融、工程等领域，常需要处理不独立的正态变量相加问题，例如投资组合收益、信号叠加等。
五、结论
当两个正态分布变量不独立时，它们的和仍然是正态分布，但其方差需要考虑协方差的影响。计算时应明确给出变量之间的协方差或相关系数，以确保结果准确。掌握这一方法对于实际建模和数据分析具有重要意义。
如需进一步了解多变量正态分布、条件分布或其他相关话题，欢迎继续提问。
