在数学领域中，计算从1²加到n²的总和是一个经典问题，其结果可以用一个简洁的公式来表示。这个公式不仅在理论研究中有重要意义，在实际应用中也极为常见。为了快速推导出这一公式，我们可以采用归纳法和代数技巧相结合的方式。
首先，假设我们需要求解的是S = 1² + 2² + ... + n²。这是一个关于自然数平方和的级数问题。我们可以通过观察一些小数值的情况来寻找规律。例如，当n=1时，S=1；当n=2时，S=5；当n=3时，S=14……通过这些具体值，可以推测出最终的表达式应该是一个关于n的三次多项式。
接下来，我们尝试构造这样一个三次多项式形式：S(n) = An³ + Bn² + Cn + D，并利用已知条件逐步确定系数A、B、C、D。根据数学归纳法原理，我们可以验证该公式是否对所有正整数n都成立。
经过一系列严谨的推导步骤后，我们得到了最终的结果：
\[ S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
这个公式表明，任意给定一个正整数n，都可以迅速计算出从1²到n²的所有整数平方和。这种方法不仅高效而且易于记忆，是解决此类问题的经典方法之一。
希望上述解释能够帮助您理解如何快速推导出这一重要公式！
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